la funzione derivata

 

la funzione derivata .

finora abbiamo calcolato la derivate in un singolo punto

\( p(a,f(a)) \) abbiamo sempre calcolato

\( f^{-}(a)=\lim\limits_{h\rightarrow0} \) \( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)

limitandoci così a considerare il singolo valore in quel punto.

possiamo però astrarre il concetto , ottenendo così una funzione che

descriva la variazione della

pendenza della funzione che si vuole derivare , facciamo un esempio

pratico.

troviamo la funzione derivata di \( f(x)=x^{3}-x \) quindi \( f^{-}(x)=\lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) .

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) ; \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{(x+h)^{3}-(x+h)-(x^{3}-x)}{h} \) ; \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{x^{3}-3xh^{2}+3x^{2}h-h^{3}-x-h-x^{3}+x}{h} \) ;

semplifichiamo \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{{\color{ignore}x^{3}}-3xh^{2}+3x^{2}h-h^{3}{\color{ignore}-x}-h{\color{ignore}-x^{3}}{\color{ignore}+x}}{h} \) ;

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{-3xh^{2}+3x^{2}h-h^{3}-h}{h} \) ;isoliamo

\( h \)

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{{\color{ignore}h}(-3xh+3x^{2}-h^{2}-1)}{{\color{ignore}h}} \) ;quindi

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;-3xh+3x^{2}-h^{2}-1 \) ; per sostituzione

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;-3xh+3x^{2}-h^{2}-1=3x^{2}-1 \) ;

ed eccoci allora la derivata di \( f(x)=x^{3}-x \) è \( f^{‘}(x)=3x^{2}-1 \)

come vedremo più avanti la funzione derivata ci da molte informazioni

riguardo alla sua funzione madre.

ma ora concentriamoci su un altro spetto.

come si può facilmente notare la derivata \( f^{‘}(x)=3x^{2}-1 \) è Anch’Essa

una funzione

che si può derivare , ed ecco che si parla di derivata seconda che

si indica con \( f”(x) \) e che altro non è che la derivata della derivata.

ed allora procediamo. \( f”(x)=\lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{(3(x-h)^{2}-1)-(3x^{2}-1)}{h} \) ;

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{3(x^{2}-2xh+h^{2})-1-3x^{2}+1}{h} \) ;

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{{\color{ignore}3x^{2}}-6xh+3h^{2}{\color{ignore}-1-3x^{2}+1}}{h} \) ;semplificando

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{-6xh+3h^{2}}{h} \) ;evidenziamo

\( h \)

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{{\color{ignore}h}(-6x+3h)}{{\color{ignore}h}} \) ;

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;-6x+3h \) ;per sostituzione si ha

\( f”(x)=6x \)

notiamo che \( y=6x \) è una retta se ne facciamo la derivata otteniamo

un numero ,in questo caso 6 , che non è altro che il suo coefficiente

angolare.

Ora sappiamo che le funzioni posso , a seconda dei casi.

essere anche derivate più volte.

se , e quante volte può essere derivata una funzione,

e le informazioni che ci da la derivata di una funzione le descriverò

più avanti.

esempi di risoluzione mediante regole

 

esempi di risoluzione mediante regole

Es. 1

calcoliamo la derivata per la funzione \( f(x)=\frac{(x-1)}{(x^{2}-1)} \)

notiamo che la funzione per \( x=1 \) non è definita perché ci ritroveremmo

in una divisione per zero

possiamo però approssimare calcolando il limite per \( x\rightarrow1 \)

quindi \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{(x-1)}{x^{2}-1} \) notiamo

che non si può in questa forma procedere per sostituzione

perché per \( x=1 \) la funzione non è definita, però possiamo applicare

qualche trasformazione matematica.

\( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{(x-1)}{x^{2}-1} \) ; \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{(x-1)}{(x-1)*(x+1)} \)

;quindi semplificando \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{1}{(x+1)} \)

;notiamo che abbiamo potuto fare questa sostituzione

perché stiamo cercando un limite quindi il valore di x è vicino a

1 ma non uno , se il valore di x fosse stato 1

\( (x-1)=0 \) e non sarebbe stato possibile semplificarlo.

a questo punto \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{1}{(x+1)} \) possiamo

agire per sostituzione e quindi il limite sarà \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{1}{(x+1)}=\frac{1}{2} \)

.

Es 2

\( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{(3+x)^{2}-9}{x} \) vediamo che

la funzione per \( x\rightarrow0 \) non è definita, non possiamo agire

per sostituzione

proviamo anche in questo caso a fare qualche trasformazione

\( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{(3+x)^{2}-9}{x} \) ; \( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{9+6x+x^{2}-9}{x} \) ;semplifichiamo

il 9 ed ecco \( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{6x+x^{2}}{x} \) ;

\( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{x(6+x)}{x} \) ;semplifichiamo

la x (sempre perchè stiamo calcolando il limite altrimenti non si

può fare ),ed ecco \( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;(6+x)=6 \) ;