calcolo dei limiti mediante regole

 

calcolo dei limiti tramite regole.

Il calcolo dei limiti come visto nella dimostrazione rigorosa ,risulta

lungo e poco pratico

,mentre con approssimazioni successive altre a ciò si può facilmente

incappare in errori di calcolo.

.

la soluzione e calcolare i limiti tramite regole.

se \( c \) è una costante , e se i limiti \( \lim\limits _{x\rightarrow a}f(x) \) e

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}g(x) \) esistono finiti

allora valgono le seguenti regole

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}\;[f(x)+g(x)] \) = \( \lim\limits _{x\rightarrow a}\; f(x)+\lim\limits _{x\rightarrow a}\; g(x)] \)

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}\;[f(x)-g(x)] \) = \( \lim\limits _{x\rightarrow a}\; f(x)-\lim\limits _{x\rightarrow a}\; g(x)] \)

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}\; c*f(x) \) = \( c* \) \( \lim\limits _{x\rightarrow a}\; f(x) \)

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}\;[f(x)*g(x)] \) = \( \lim\limits _{x\rightarrow a}\; f(x)*\lim\limits _{x\rightarrow a}\; g(x)] \)

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}\;[\frac{f(x)}{g(x)}] \) = \( \frac{\lim\limits _{x\rightarrow a}\; f(x)}{\lim\limits _{x\rightarrow a}\; g(x)} \)

se e solo se \( \lim\limits _{x\rightarrow a}\; g(x) \) se è diverso da \( 0 \)

usando ripetutamente la regola del prodotto si ha

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}\;[f(x)]^{n}=[\lim\limits _{x\rightarrow a}\; f(x)]^{n} \)

limiti per sostituzione ed intuitivi.

\( \lim\limits _{x\rightarrow c}\quad c=c \)

\( \qquad \) \( \lim\limits _{x\rightarrow a}\; x=a \)

.se n è un intero positivo

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}\; x^{n}=a^{n} \)

\( \lim\limits _{x\rightarrow a}\;\sqrt[n]{x}=\sqrt[x]{a} \)

\( \lim\limits _{x\rightarrow a} \) \( \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits _{x\rightarrow a}f(x)} \)

… n deve essere pari e \( \lim\limits _{x\rightarrow a}f(x) \) >0

intuitivamente è facile convincersi della veridicità di queste regole

ad esempio se \( \lim\limits _{x\rightarrow a}f(x)=L \) e \( \lim\limits _{x\rightarrow a}g(x)=M \)

è facile supporre che la loro somma si \( \lim\limits _{x\rightarrow a}\;[f(x)+g(x)]=(L+M) \)

tutte queste regole comunque possono essere verificate usando la definizione

rigorosa di limite