definzione rigorosa di limite

 

prendiamo in considerazione il grafico legato alla funzione \( f(x)=\frac{1}{2}*x^{2} \)

cerchiamo di calcolare il limite di f(x) per x che tende a 4

per quanto riguarda la funzioni diremo che .f(x) ha limite in L al tendere di x ad a

significa che possiamo rendere .f(x) arbitrariamente vicina ad L prendendo x sufficientemente vicina ad a

(ma non coincidente ad a).

dovremo essere in grado di vedere quando deve essere |x-a| per avere |f(x)-L| minore di una quantità fissata..

quindi indichiamo con \( \varepsilon ,|f(x)-L| …………(\varepsilon=|f(x)-L) \)

e con \( \delta,|x-a|………..(\delta=|x-a|) \)

nel nostro caso supponiamo che L=8 e cerchiamo di dimostrarlo.

Applichiamo questo concetto l nostro caso.

quindi per avere un \( \varepsilon=0,2 \) di quando dovrà essere \( \delta \) ?

nel nostro caso L = 8;

quindi l’intorno \( \varepsilon \) ha 2 estremi \( 8+\varepsilon \) , \( 8-\varepsilon \)

quindi (8,2) ,(7,8).

quindi prendiamo la formula inversa di \( y=\frac{1}{2}*x^{2} \) che è \( x=\sqrt{2y} \) per calcolarci i corrispettivi degli estremi,

e troviamo rispettivamente 4,04969 e 3,94968 quindi approssimando f(4,04969)=8,2 ,e f(3,94968)=7,8

da un lato il valore si discosta da 4 di 0,04969 , dall’altro di 0,05032

quindi l’intervallo non è simmetrico intorno a 4 .

possiamo scegliere come valore il più piccolo fra i due cioè

porre \( \delta=0,04969 \) ;

possiamo quindi scrivere le seguenti disequazioni riferite al punto p(4,8)

\( |(\frac{1}{2}*x^{2})-8|<0,2 \) quando \( |x-4|<0,04969 \)

ciò significa che prendendo un qualunque intorno di x=4 di 0,04969

avremo sempre un valore compreso nell’intorno 0,2 di y=8.

questo procedimento si può ripeter per svariati valori di \( \varepsilon \) e di \( \delta \) .

quindi possiamo dire che , per ogni numero positivo \( \varepsilon \)

per quanto piccolo possa essere esiste sempre un numero positivo \( \delta \) tale che:

\( |(\frac{1}{2}*x^{2})-8|<\varepsilon \) quando \( |x-4|<\delta \)

questo significa che

\( \lim_{x\rightarrow4}\frac{1}{2}*x^{2}=8 \)

quindi così facendo abbiamo dimostrato che per x che tenda a 4 f(x) tende ad 8.

questo è un caso in cui il limite non ci serve a molto , ma è importante sottolineare

che il concetto di limite si sarebbe potuto usare anche se la funzione no fosse stata

definita nel punto P(4,8) , vedremo esempi al riguardo più avanti.