derivate delle funzioni potenza

 

derivate delle funzioni potenza

le funzioni potenza sono grafici del tipo \( f(x)=x^{n} \)

dove n è un numero intero positivo.

il caso più semplice e per \( n=1 \) cioè \( f(x)=x \) ,

che non è altro che una retta che ha pendenza 1.

si può dedurre facilmente che \( f'(x)= \) 1.

cmq volendolo dimostrare……

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0} \) \( \frac{x+h-x}{h} \) ; \( m=\lim\limits _{h\rightarrow0} \) \( \frac{h}{h}=1 \)

.

.

adesso proviamo ad analizzare i casi per n = 2 , e per n = 3.

a) \( f(x)=x^{2} \)

.

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} \) ;

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h} \) ;semplifichiamo \( x^{2} \)

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{2xh+h^{2}}{h} \) ;

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{h(2x+h)}{h} \) ;

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\;2x+h=2x \) ;

.

b) \( f(x)=x^{3} \)

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h} \) ;

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{x^{3}+3xh^{2}+3x^{2}h+h^{3}-x^{3}}{h} \) ;

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{x^{3}+3xh^{2}+3x^{2}h+h^{3}-x^{3}}{h} \) ;semplifichiamo \( x^{3} \)

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{3xh^{2}+3x^{2}h+h^{3}}{h} \) ;

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{h(3xh+3x^{2}+h^{2})}{h} \) ;

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}(3xh+3x^{2}+h^{2})=3x^{2} \) ;

 

ora proviamo a generalizzare e a ricavarne una regola generale.

\( f(x)=x^{n} \) .sappiamo che

\( m=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^{n}+h^{n}}{h} \)

ricordiamoci che per la potenza di un binomio possiamo usare il triangolo

di tartaglia.

a questo punto facciamo un paio di osservazioni.

a) capiamo facilmente che nell’espressione \( (x+h)^{n}-x^{n} \) quando

si va a sviluppare il binomio \( x^{n}si \) semplifica sempre.

b)quello che rimane “subbierà” la semplificazione con \( h \)

a sua volta \( h \) tendente a zero , azzererà tutti i fattori che contengono h

Es. \( (x+h)^{4}-x^{4} \)

\( x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}-x^{4} \)

L’unico fattore che non contiene \( h \) è il primo ,in questo caso, \( x^{4} \) che

non ci serve perché si semplifica subito.

tutto il resto poi subbierà una semplificazione per h

\( \frac{h(+4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3})}{h} \) ;

dopo la semplificazione l’unico elemento che rimane senza \( h \) è

il primo

in questo caso \( 4x^{3} \) , tutti gli altri sono inutili visto che \( h\rightarrow0 \) vengono

tutti annullati.

per maggiore chiarezza basta osservare il triangolo di tartaglia ,sulle potenze dei binomi.

in pratica abbiamo dimostrato che l’unico elemento che ci interessa

è il secondo termine del triangolo di tartaglia ,

semplificato del’ \( h \) .

quindi la derivata di una funzione potenza è data dal secondo termine

del triangolo di tartaglia senza \( h.il \) che vale a dire

se \( f(x)=x^{n} \) allora \( f'(x)=nx^{(n-1)} \)

notiamo che se \( f(x)=c*x^{2} \) aplicando la regola della moltiplicazione per costante , vedi questo articolo.

si ha \( f'(x)=c*n*x^{(n-1)} \)