esempi di risoluzione mediante regole

 

esempi di risoluzione mediante regole

Es. 1

calcoliamo la derivata per la funzione \( f(x)=\frac{(x-1)}{(x^{2}-1)} \)

notiamo che la funzione per \( x=1 \) non è definita perché ci ritroveremmo

in una divisione per zero

possiamo però approssimare calcolando il limite per \( x\rightarrow1 \)

quindi \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{(x-1)}{x^{2}-1} \) notiamo

che non si può in questa forma procedere per sostituzione

perché per \( x=1 \) la funzione non è definita, però possiamo applicare

qualche trasformazione matematica.

\( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{(x-1)}{x^{2}-1} \) ; \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{(x-1)}{(x-1)*(x+1)} \)

;quindi semplificando \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{1}{(x+1)} \)

;notiamo che abbiamo potuto fare questa sostituzione

perché stiamo cercando un limite quindi il valore di x è vicino a

1 ma non uno , se il valore di x fosse stato 1

\( (x-1)=0 \) e non sarebbe stato possibile semplificarlo.

a questo punto \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{1}{(x+1)} \) possiamo

agire per sostituzione e quindi il limite sarà \( \lim\limits _{x\rightarrow1}\;\frac{1}{(x+1)}=\frac{1}{2} \)

.

Es 2

\( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{(3+x)^{2}-9}{x} \) vediamo che

la funzione per \( x\rightarrow0 \) non è definita, non possiamo agire

per sostituzione

proviamo anche in questo caso a fare qualche trasformazione

\( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{(3+x)^{2}-9}{x} \) ; \( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{9+6x+x^{2}-9}{x} \) ;semplifichiamo

il 9 ed ecco \( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{6x+x^{2}}{x} \) ;

\( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;\frac{x(6+x)}{x} \) ;semplifichiamo

la x (sempre perchè stiamo calcolando il limite altrimenti non si

può fare ),ed ecco \( \lim\limits _{x\rightarrow0}\;(6+x)=6 \) ;