il problema della tangente e della velocità

 

il problema della tangente e della velocità.
supponiamo che un auto ferma nell’istante \( T_{0} \)

inizi un moto accelerato uniforme con un accelerazione \( a=1m/s \) .

proviamo a rappresentare il suo moto in un piano cartesiano imponendo \( y=d=distanza \) percorsa dall’auto e \( x = t = tempo \) trascorso

infine supponiamo che la sua velocità iniziale sia 0 e che iniziamo a calcolare il tempo quando parte la macchina.

quindi abbiamo una macchina che si muove con moto accellerato di \( a=1m/s \) .

e dobbiamo riportare nell’asse delle y lo spazio che sarà : \( s=\frac{v_{0}+v_{p}}{2}*t \) , lo spazio percorso sarà dato dalla velocità media

per il tempo trascorso a sua volta la velocità media sarà data dalla somma della velocità iniziale

\( v_{0} \) che noi sappiamo essere nulla con la velocità nel punto dato \( v_{p} \)

che dipende dall’istante che consideriamo e che dipende dall’accelerazione infatti possiamo scrivere

\( v_{p}=a*t \) cioè al’ accelerazione per il tempo. quindi \( s=\frac{v_{0}+(a*t)}{2}*t \) poi togliamo \( v_{0} \)

perché abbiamo posta come 0, quindi \( s=\frac{(a*t)}{2}*t \) poi

\( s=\frac{1}{2}*a*t^{2} \) visto che abbiamo posto \( a=1m/s \) .

ci ritroviamo con \( s=\frac{1}{2}*t^{2} \) quindi \( y=\frac{1}{2}*x^{2} \) che non è altro che una parabola.

in questo grafico sul l’ asse delle y abbiamo lo spazio percorso in metri , e sull’asse delle x il tempo trascorso in secondi.

possiamo prendere come esempio il punto p(4,8) appartenete alla parabola

. deducendo quindi che la macchina dopo 4 secondi ha percorso 8 metri.

. notiamo che la ci troviamo in presenza di una curva perché abbiamo considerato un moto accelerato uniforme.

se avessimo considerato un moto a velocità costante per esempio con velocità di 2 m/s il grafico sarebbe stato.

teniamo presente che in un sistema come questo trovare una determinata velocità significa trovare un coefficiente angolare.

infatti il coefficiente angolare \( m=\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\triangle s}{\triangle t}=v \)

ricordiamocelo perché più avanti ci servirà .

Torniamo al grafico della nostra auto in moto accelerato.

Cosa accadrebbe se volessimo conoscere la velocità che raggiunge l’auto , diciamo dopo 4 secondi di accelerazione ? beh potremmo usare qualche semplice formula che ci permetterebbe di evitare l’uso dei limiti. ma noi i limiti li vogliamo usare !!!!!

La velocità istantanea di per se non esiste , se è vero che la velocità è il rapporto fra lo spazio ed il tempo \( \frac{s}{t} \)

allora si dovrà percorrere un certo spazio \( \triangle s \) in un certo intervallo di tempo \( \triangle t \) ,

è impossibile considerare un velocità istantanea perché \( \triangle t \) sarebbe 0 e non avrebbe senso la divisione \( \frac{\triangle s}{\triangle t} \) perché sarebbe una divisione per 0.

Allora come si fa a calcolare la velocità della nostra macchina in moto rettilineo uniforme dopo 4 secondi ?

Bhe non possiamo dobbiamo, scegliere un intervallo , per quando piccolo ma dobbiamo scegliere un intervallo.

per il momento scegliamo un intervallo abbastanza grande diciamo 1 secondo ,

calcolando la velocità media della macchiana fra il 3° ed il 4° secondo.

quindi sappiamo già che \( \triangle t=1 \) ; mentre \( \triangle s=s_{4}-s_{3} \) dove \( s_{4} \) =spazio percorso dopo 4 secondi ed \( s_{3} \) spazio percorso dopo 3 secondi.

ricordiamoci l’equazione che nel nostro caso lega s a t cioè \( s=\frac{1}{2}*t^{2} \)

quindi \( s_{4}=\frac{1}{2}*4^{2}=8m \) mentre \( s_{3}=\frac{1}{2}*3^{2}=4,5m \)

quindi \( \triangle s=8-4,5=3,5m \) quindi la velocità media sarà

\( \frac{\triangle s}{\triangle t}=\frac{3,5}{1}=3,5m/s \)

graficamente si può vedere che la retta che rappresenta la velocità media tocca la parabola in 2 punti,

trovare la velocità nell’istante p(4,8) corrisponde a trovare il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto.

Sappiamo che la velocità istantanea nel punto p(4,8), può solo essere approssimata cercando di prendere \( \triangle t \) sempre più piccolo senza mai però farlo arrivare a 0

il che corrisponde ad avvicinare \( p_{1} \) sempre di più a \( p_{2} \) senza mai sovraporlo,

eccovi una tabella con \( \triangle t \)

sempre più piccolo.

t s Vm
1 3,5000000000 3,5000000000
\( \frac{1}{2} \) 1,8750000000 3,7500000000
\( \frac{1}{4} \) 0,9687500000 3,8750000000
\( \frac{1}{8} \) 0,4921875000 3,9375000000
\( \frac{1}{16} \) 0,2480468750 3,9687500000
\( \frac{1}{32} \) 0,1245117188 3,9843750000
\( \frac{1}{64} \) 0,0623779297 3,9921875000
\( \frac{1}{128} \) 0,0312194824 3,9960937500
\( \frac{1}{256} \) 0,0156173706 3,9980468750
\( \frac{1}{512} \) 0,0078105927 3,9990234375

vediamo che man mano che \( \triangle t \) e di conseguenza \( \triangle s \) si riducono la velocità media \( v_{m} \) sembra sempre di più avvicinarsi a 4m/s .

in pratica dobbiamo calcolare

\( \lim\limits _{\triangle t\rightarrow0}\frac{\triangle s}{\triangle t} \)

o meglio

\( \lim\limits _{t_{3}\rightarrow t_{4}}\frac{s_{4}-s_{3}}{t_{4}-t_{3}} \)

\( \lim\limits _{t_{3}\rightarrow t_{4}}\frac{\frac{1}{2}t_{4}^{2}-\frac{1}{2}t_{3}^{2}}{t_{4}-t_{3}} \)

= \( \lim\limits _{t_{3}\rightarrow t_{4}}\frac{\frac{1}{2}(t_{4}^{2}-t_{3}^{2})}{t_{4}-t_{3}} \)

adesso sappiamo che \( t_{4} \) = 4 mentre \( t_{3} \) deve avvicinarsi sempre

più a \( t_{4} \) cioè a 4

quindi sostituiamo \( t_{4} \) con 4 nella formula.

. \( \lim\limits _{t_{3}\rightarrow4}\frac{\frac{1}{2}(4^{2}-t_{3}^{2})}{4-t_{3}} \)

; \( \lim\limits _{t_{3}\rightarrow4}\frac{{{\frac{1}{2}*(4-t_{3})*(4+t_{3})}}}{{(4-t_{3})}} \) ;

semplificando \( (4-t_{3}) \) si ottiene \( \lim\limits _{t_{3}\rightarrow4}\:\frac{1}{2}*(4+t_{3}); \)

per sostituzione si ha \( \lim\limits _{t_{3}\rightarrow4}\:\frac{1}{2}*(4+4); \) quindi

\( \lim\limits _{t_{3}\rightarrow4}\:\frac{8}{2}=4; \)

4 è esattamente il valore cercato

questo problema può essere affrontato in un altro modo

in realtà \( t_{3} \) è \( t_{4} \) meno una certa quantità \( h \) in altre

parole \( t_{3}=t_{4}-h \)

in pratica trovare \( \lim\limits _{\triangle t\rightarrow0}\frac{\triangle s}{\triangle t} \)

significa trovare \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{s_{4}-s_{3}}{t_{4}-(t_{4}-h)} \)

applicando la formula \( s=\frac{1}{2}*t^{2} \)

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}t_{4}^{2}-\frac{1}{2}(t_{4}-h)^{2}}{t_{4}-(t_{4}-h)} \)

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}[t_{4}^{2}-(t_{4}-h)^{2}]}{t_{4}-(t_{4}-h)} \)

; \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{1}{2}*\frac{[t_{4}^{2}-(t_{4}-h)^{2}]}{t_{4}-(t_{4}-h)} \) ; \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{1}{2}*\frac{(t_{4}^{2}-t_{4}^{2}+2ht_{4}-h^{2})}{t_{4}-(t_{4}-h)} \)

semplifichiamo \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{1}{2}*\frac{(t_{4}^{2}-t_{4}^{2}+2ht_{4}-h^{2})}{t_{4}-(t_{4}-h)} \)

quindi \( \lim\limits _{h\rightarrow0\;}\frac{1}{2}*\frac{(2ht_{4}-h^{2})}{h} \)

; \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\;\frac{1}{2}*\frac{h(2t_{4}-h)}{h} \)

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{1}{2}*(2t_{4}-h) \) sappiamo che

\( t_{4}=4 \) quindi :

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{1}{2}*(8-h) \)

risolvendo questo

limite per sostituzione si ha \( \lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{1}{2}*(8-h)=4 \)

c.v.d.