integrali come calcolo della distanza percorsa

 

possiamo definire gli integrali anche come calcolo della distanza percorsa.
tutti conosciamo la relazione fra velocità spazio e tempo \( v=\frac{s}{t} \) .
ora considerato il moto di un punto materiale a velocità costante . calcolare lo spazio percorso in un intervallo di tempo \( [a,b] \)
è particolarmente facile \( s=t*v \)
se graficamente poniamo \( y=v \) ed \( x=t \) allora trovare lo spazio percorso corrisponde a trovare l’area sottesa alla retta in quell’intervallo \( [a,b] \) .


a velocità costante basta fare una semplice moltiplicazione, ma noi sappiamo che la fisica è piena di moti accelerati
,orbite di pianeti , traiettorie di proiettili , e chi più ne ha più ne metta.
come facciamo a calcolare la distanza percorsa se la velocità varia continuamente ?
possiamo provare a fare un approssimazione , prendiamo il nostro intervallo \( [a,b] \) e lo dividiamo
in \( n \) sottointervalli \( \triangle t \) e per ogni sottointervallo calcoliamo lo spazio percorso , sommiamo tutti gli spazi ed otteniamo la nostra approssimazione.
come si vede questo processo non è altro che una sommatoria , che viene detta somma di Riemann.
facciamo un esempio:

supponiamo che la velocità vari secondo L’Equazione \( f(x)=(x-2)^{3}+2(x-2)^{2} \)
che graficamente corrisponde a


proviamo a calcolare lo spazio percorso nell’intervallo che va da \( [0,2] \) ,
in pratica vediamo quant’è L’area sottesa alla gobba .

per prima cosa facciamo un approssimazione , abbastanza ampia ,
dividiamo il nostro intervallo in 4 parti , \( n=4 \) .


se generalizziamo possiamo scrivere \( \sum\limits _{i=1}^{n}\;\frac{2}{n}*f(\frac{2}{n}*i)=\sum\limits _{i=1}^{n}\;\frac{2}{n}*[((\frac{2}{n}*i)-2)^{3}+2*((\frac{2}{n}*i)-2)^{2}] \)
ci ritroveremo il nostro intervallo diviso in 5 parti:
\( x_{0}=0\;;\; x_{1}=\frac{1}{2}\;;\; x_{2}=1\;;\; x_{3}=\frac{3}{2}\;;\; x_{4}=2 \)
e quindi avremo un \( \triangle x=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2} \)
per calcolare la nostra area approssimata ,
potremmo prendere come riferimento gli estremi sinistri o quelli destri del nostro intervallo
nel nostro caso prenderemo quelli destri ,
quindi .
\( A= \triangle x*f(x_{1})+ \triangle x*f(x_{2})+ \triangle x*f(x_{3})+ \triangle x*f(x_{4}) \)
.
\( A=\frac{1}{2}*f(x_{1})+\frac{1}{2}*f(x_{2})+\frac{1}{2}*f(x_{3})+\frac{1}{2}*f(x_{4}) \)
.
\( A=\frac{1}{2}*(f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+f(x_{4})) \)
.
\( A=\frac{1}{2}*(f(\frac{1}{2})+f(1)+f(\frac{3}{2})+f(2)) \)
.
\( A=\frac{1}{2}*(\frac{9}{8}+1+\frac{3}{8}+0) \)
.
\( A=\frac{1}{2}*\frac{20}{8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1,25 \) .
questa è solo un approssimazione dividendo l’intervallo per 4 e prendendo come riferimento
gli estremi destri di ogni intervallo , avremmo potuto prendere gli estremi sinistri , o anche un qualsiasi punto
all’interno dei vari intervalli , ottenendo così varie approssimazioni,.
ma torniamo alla nostra sommatoria
\( A=\sum\limits _{i=1}^{n}\;\frac{2}{n}*f(\frac{2}{n}*i)=\sum\limits _{i=1}^{n}\;\frac{2}{n}*[((\frac{2}{n}*i)-2)^{3}+2*((\frac{2}{n}*i)-2)^{2}] \)
.
applicando le regole sulle sommatoria che qui non mostro perché
sarebbe troppo lungo (cmq per i più curiosi cliccare Qui)
otteniamo come risultato \( \sum\limits _{i=1}^{n}\;\frac{2}{n}*[((\frac{2}{n}*i)-2)^{3}+2*((\frac{2}{n}*i)-2)^{2}]=\frac{4(n^{2}-1)}{3n^{2}} \)
ora per avere il risultato preciso non ci resta che far tendere \( n \) all’infinito
il che equivale dividere L’intervallo in infiniti sottointervalli.
\( A=\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\frac{4(n^{2}-1)}{3n^{2}}=\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\frac{4n^{2}-4}{3n^{2}}=\frac{4}{3} \)
allora L’area che cercavamo \( A=\frac{4}{3} \)
Teniamo presente che quest’ultimo valore non è un approssimazione ma il valore preciso dell’area sottesa.
questi sono integrali definiti , che danno come risultato un numero .
più in la vedremo gli integrali indefiniti , che altro non sono che una generalizzazione dei primi .
e che danno come risultato un altra equazione.
.
Concludiamo con la simbologia , questo speciale tipologia di limiti , detti integrali, per la loro importanza
hanno una simbologia a parte e precisamente.
\( \int\limits _{a}^{b}f(x)dx \) la parte \( dx \) non ha nessun significato particolare va considerato
come parte del simbolo . sostituendo \( f(k) \) a \( f(x) \)
avremmo dovuto scrivere \( \int\limits _{a}^{b}f(k)dk \) .
Volendo applicare questa simbologia , al caso appena studiato , potremmo dire che noi abbiamo calcolato
\( \int\limits _{0}^{2}(x-2)^{3}+2(x-2)^{2}dx=\frac{4}{3} \)