integrali

Gli integrali.

ci sono due modi equivalenti per introdurre gli integrali.
1) calcolare l’area sottesa ad una qualsiasi curva
2) (più vicino alla fisica) calcolare la distanza percorsa
da un corpo con velocità variabile v

.
i due metodi sono equivalenti più in generale possiamo dire che il
secondo ingloba il primo.
si può iniziare a leggere indifferentemente uno dei 2 cmq noi iniziamo
dal problema dell’area.
.
considerata una generica funzione \( f(x) \)

potremmo voler conoscere L’area sottesa alla curva e delimitata dalle rette \( y=a \) ed \( y=b \)


L’idea che sta alla base dell’integrale e duella di dividere lo spazio \( [a,b] \) in \( n \) parti e di ciascuna calcolarne l’area approssimando così la soluzione .

se poi facciamo si che \( n\rightarrow\infty \) allora ci ritroviamo la nostra soluzione in modo preciso.

facciamo un esempio pratico con un equazione semplice , poniamo \( f(x)=x^{2} \)

proviamo a calcolare L’area sottesa compresa fra \( [a,b] \) con \( a=0 \) e \( b=1 \) .


L’Approssimazione peggiore che possiamo fare e quella di \( \frac{1^{2}}{2} \) \( =0.5 \)

non è propio un gran che proviamo a dividere il nostro intervallo a,b in quattro sotto intervalli:
quindi per \( n=4 \) avremo 5 linee verticali che delimiteranno le 4 aree cioè

\( x_{0}=0 \) , \( x_{1}=\frac{1}{4} \) , \( x_{2}=\frac{2}{4} \) , \( x_{3}=\frac{3}{4} \) , \( x_{4}=1 \)
adesso possiamo approssimare L’area per eccesso o per difetto.

per eccesso con \( n=4 \) avremo.

\( \sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{n}*f(\frac{1}{n}*i) \)

nel nostro caso essendo \( f(x)=x^{2} \) allora otteniamo

\( \sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{n}*(\frac{1}{n}*i)^{2} \)

considerato \( n=4 \)

\( \frac{1}{4}*f(x_{1}) \) + \( \frac{1}{4}*f(x_{2}) \) + \( \frac{1}{4}*f(x_{3}) \) + \( \frac{1}{4}*f(x_{4}) \)
cioè

\( \frac{1}{4}*(\frac{1}{4})^{2} \) + \( \frac{1}{4}*(\frac{2}{4})^{2} \) + \( \frac{1}{4}*(\frac{3}{4})^{2}+\frac{1}{4}*1^{2}+=\frac{15}{32} \)
allora la stima per eccesso é

\( \frac{15}{32}\approx0.46…… \)

.
invece per difetto sempre con \( n=4 \)

avremo. \( \sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{n}*f(\frac{1}{n}*(i-1)) \)

nel nostro caso essendo \( f(x)=x^{2} \) allora otteniamo

\( \sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{n}*(\frac{1}{n}*(i-1))^{2} \)

che equivale con \( n=4 \)

 

\( \frac{1}{4}*f(x_{0}) \) + \( \frac{1}{4}*f(x_{1}) \) + \( \frac{1}{4}*f(x_{2}) \) + \( \frac{1}{4}*f(x_{3}) \)

cioè

\( \frac{1}{4}*0^{2} \) + \( \frac{1}{4}*(\frac{1}{4})^{2} \) + \( \frac{1}{4}*(\frac{2}{4})^{2} \) + \( \frac{1}{4}*(\frac{3}{4})^{2}=\frac{7}{32} \)

quindi la stima per difetto è: \( \frac{7}{32}\approx0.21………. \)

L’area \( A \) che stiamo cercando è compresa fra :

\( \frac{7}{32}<A<\frac{15}{32} \)

potremmo avere una stima maggiore facendo la media delle 2 aree , che verrebbe

\( \frac{11}{32} \)

.
ora proviamo a far tendere \( n \) all’infinito . noteremo che anche il metodo per eccesso e quello per difetto all’infinito coincidono, ed ecco.

per eccesso

\( \sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{n}*(\frac{1}{n}*i)^{2}=\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{n}*\frac{1}{n^{2}}*(i)^{2}=\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{n^{3}}*(i)^{2}=\frac{1}{n^{3}}*\sum\limits_{j=1}^{n}(*i)^{2} \)

ora ci servono una formula riguardante la sommatoria e precisamente quella della somma dei primi

\( n \) quadrati

\( \sum\limits_{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}…….+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

quindi
\( \frac{1}{n^{3}}*\sum\limits_{j=1}^{n}(*i)^{2}=\frac{1}{n^{3}}*\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}} \)

ora per cercare L’area dobbiamo calcolare il limite per \( n\rightarrow\infty \)

\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^{2}+3n+1}{6n^{2}} \)

escludiamo le parti non rilevanti

\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^{2}}{6n^{2}}=\frac{1}{3} \)

mentre per difetto.

per difetto

\( \sum\limits _{j=1}^{n}\frac{1}{n}*(\frac{1}{n}*(i-1))^{2}=\sum\limits _{j=1}^{n}\frac{1}{n}*\frac{1}{n^{2}}*(i-1)^{2}=\frac{1}{n^{3}}*\sum\limits _{j=1}^{n}(i-1)^{2} \)

.

\( \frac{1}{n^{3}}*\sum\limits _{j=1}^{n}(i-1){}^{2}=\frac{1}{n^{3}}*\sum\limits _{j=1}^{n}i^{2}-2i+1=\frac{1}{n^{3}}*\sum\limits _{j=1}^{n}i^{2}-\sum\limits _{j=1}^{n}2i+\sum\limits _{j=1}^{n}1 \)

adesso risolviamo singolarmente le tre sommatorie

\( \sum\limits _{j=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

.

\( \sum\limits _{j=1}^{n}2i=2*\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1) \)

.

\( \sum\limits _{j=1}^{n}1=n \)

.
quindi

\( \frac{1}{n^{3}}*\sum\limits _{j=1}^{n}i^{2}-\sum\limits _{j=1}^{n}2i+\sum\limits _{j=1}^{n}1=\frac{1}{n^{3}}*\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n(n+1)+n \)

semplifichiamo \( n \) ed avremo
.

\( \frac{1}{n^{3}}*\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n(n+1)+n=\frac{1}{n^{2}}*\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-(n+1)+1 \)

 

\( =\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}-n=\frac{(n+1)(2n+1)-6n}{6n^{2}} \)

 

\( =\frac{2n^{2}+3n+1-6n}{6n^{2}}=\frac{2n^{2}-3n+1}{6n^{2}} \)

.
ed abbiamo che la nostra equazione

\( \frac{1}{n^{3}}*\sum\limits _{j=1}^{n}i^{2}-\sum\limits _{j=1}^{n}2i+\sum\limits _{j=1}^{n}1=\frac{2n^{2}-3n+1}{6n^{2}} \)

a questo punto per avere il valore preciso dell’area non ci resta
che far tendere \( n \) all’infinito quindi

\( A=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^{2}-3n+1}{6n^{2}}=\frac{1}{3} \)

.
abbiamo visto che sia se si approssima per eccesso sia se si approssima per difetto facendo tendere \( n\rightarrow\infty \)

avremo lo stesso risultato , in questo caso \( \frac{1}{3} \)

in realtà anche prendendo un generico punto all’interno dell’intervallo
avremo ancora lo stesso risultato.
questo è utile ad esempio in quei casi dove per semplificare i calcoli
conviene prendere , od esempio
il punto medio , o cmq un punto all’interno dell’intervallo.
.
questo limite che abbiamo appena vista prende il nome appunto di integrale
è un limite particolare perché si trova molto spesso sia in matematica
in fisica , chimica e moltissime altre scienze
per questo vi è una notazione specifica.
.
l’area sottesa ad una curva e delimitata da due rette parallele all’
asse \( y \) che chiameremo \( a,b \)
si indica in questo modo
\( \int\limits _{b}^{a}\; f(x)\; dx \)

.
questa notazione fu introdotta da Leibniz è una S allungata con gli
estremi scritti sopra e sotto la voce \( dx \)

va considerata parte del simbolo non ha nessun significato particolare
va solo sostituto il contenuto all’interno delle parentesi, ad scempio sostituendo \( k \) ad \( x \)

avremmo dovuto scrivere

\( \int\limits _{b}^{a}\; f(k)\; dk \)

.
volendo applicare questa simbologia al nostro caso introduttivo dobbiamo scrivere

\( \int\limits _{0}^{1}\; x^{2}\; dx \)

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teniamo presente che vi sono 2 tipi di integrali , quello che abbiamo appena scritto , è
un integrale definito , cioè una volta risolto da come risultato un numero.
.
studieremo più in la gli integrali indefiniti , che altro non sono
che una generalizzazione e che danno come risultato Un’Equazione.