Intervalli

intervallo

L’intervallo è un concetto abbastanza comune e semplice .
volendolo esprimere rigorosamente potremmo dire che L’intervallo
è un sottoinsieme della retta reale , che si può rappresentare anche come un segmento

per esempio l’ intervallo a , b si può descrivere come

(a,b) = { x | a < x < b }

graficamente


intervallo

L’intervallo è un concetto abbastanza comune e semplice .
volendolo esprimere rigorosamente potremmo dire che L’intervallo
è un sottoinsieme della retta reale , che si può rappresentare anche come un segmento

per esempio l’ intervallo a , b si può descrivere come

(a,b) = { x | a < x < b }

graficamente

           a                         b      

———-°———————-°——–

la linea non dovrebbe essere tratteggiata ma continua cmq si noti che i punti (a,b) non sono inclusi
nell’intervallo per questo si usa la notazione con parentesi tonde  (a,b) ed i punti vuoti al centro °

se a e b fossero inclusi nell’intervallo avremmo dovuto scrivere :

[a,b] = { x | a < x < b }

e rappresentarli graficamente

           a                         b      

———-*———————-*——–

gli asterischi stanno per dei semplici punti pieni.

si notino le parentesi quadre al posto di quelle tonde (

[a,b] invece di (a,b)

)

quando gli estremi sono esclusi si parla di intervallo aperto , mentre quando sono inclusi si parla di intervallo chiuso

naturalmente si può anche avere un estremo incluso d uno no Es.(

(a,b] = { x | a < x < b }

)

quando un solo estremo è incluso in solo estremo si parla appunto di intervallo chiuso in un solo estremo.

 poi si possono anche avere intervalli esterni es

)a,b[ = { x | x < a   or   x | x > b}

Graficamente

           a                         b      

———-°———————-*——–

ricordiamo che al posto dell’asterisco va un punto pieno normale ;

un pò di simboli logici

 a or b a∨b
 a and b a∧b
not a ¬a

dalla tabella si evince che invece di

)a,b[ = { x | x < a   or   x | x > b}

avremmo potuto scrivere

)a,b[ = { x | x < a   ∨   x | x > b}


NOTA:

Adesso notiamo una cosa ,l’espressione

(a,b) = { x | a < x < b }

è in realtà l’abbreviazione della formula

(a,b) = { x | x > a   and  x| x < b }

MA… attenzione non ci sogniamo di abbreviare l’espressione

(a,b) = { x | x < a   or   x | x > b}

altrimenti salta fuori una cosa del genere

(a,b) = { x | a> x <b}

 

notiamo che L’espressione a < x < b significa semplicemente che x è compreso fra a e b

ma invece l’espressione a> x <b non ha assolutamente senso

 

Ora passiamo a gli intervalli con un estremo infinito

il simbolo di infinito è  ∞ in pratica un 8 coricato

ad esempio

(a ,+∞) = { x|x > a }

graficamente

        a

——-°————————–

(a ,-∞) = { x|x < a }

graficamente

                            a

——-—————–°———

penso che la cosa sia abbastanza esplicativa
ultima nota , per infinito non si intende un vero e propio numero
ma è un simbolo che viene usato per indicare una tendenza  cioè
con

(a ,-∞)

si vuole indicare tutti i numeri strettamente minori di a

ecco una tabella riassuntiva

Notazione  Descrizione insiemistica Rappresentazione Grafica
 (a , b)

{ x | a < x < b }

           a                         b      

———-°———————-°——–

[a,b]            

{ x | a < x < b }

           a                         b      

———-*———————-*——–

gli asterischi stanno per dei semplici punti pieni.

[a,b)    
( a, b]    

(a,+)

 

        a

——-°————————–

(a,-∞)  

                            a

——-—————–°———

     
     
 (-∞,+∞)  (insieme dei numeri reali)