La retta

la retta idealmente è composta da una serie di punti messi uno in fila all’altro seguendo un equazione lineare del tipo

\( xa+yb+c=0 \)


uesta e la forma algeblica

di una retta .

ma la forma algeblica non è la forma più usata ne ,per molti aspetti, la più comoda

vi sono altre forme dette normali e che sono …

la retta idealmente è composta da una serie di punti messi uno in fila all’altro seguendo un equazione lineare del tipo

\( xa+yb+c=0 \)


uesta e la forma algeblica

di una retta .

ma la forma algeblica non è la forma più usata ne ,per molti aspetti, la più comoda

vi sono altre forme dette normali e che sono …

a) \( y=xm+b \)

oppure

b) \( x=yk+c \)

 

tutte e due vengono dette Forme canoniche

ma fra queste 2 la prima è quella usata più spesso.

naturalmente notiamo che tutte e trè le formule sono assolutamente equivalenti,

perchè viene usata una invece di un altra sarà chiaro fra poco più avanti.

Allora torniamo allanostra forma canonica più usata:

\( y=xm+b \)

in questa formula m è detto il coefficiente angolare ,

il coefficiente angolare è la misura della pendenza della retta è può essere calcolato come

\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \)

il simbolo

\( \Delta \)

viene detto Delta è rappresenta la variazione

di una determinata grandezza rispetto ad un altra

in questo caso \( \Delta \) rappresenta la variazione di y rispetto a

x o viceversa.

adsso possiamo capire perchè la forma canonica

\( y=xm+b \)

è più usata rispetto

alla forma algeblica, per il semplice fatto che vi si ha il oefficiente

angolare m subbito visibile

invece con la forma algeblicaci toccherebbe calcolarlo.

piccola curiosità se noi avessimo scelto la forma canonica

\( x=yk+c \)

il coeficiente angolare K sarebbe stato

\( k=\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}} \)

in poche parole

\( k=\frac{1}{m} \)

il rapporto fra la la variazione di y e quella di x è detta appunto

coefficiente angolare.

volendo fare un caso pratico potremmo trovarci una retta che per ogli

incremento di y di 2 cm

x aumenta di 10cm.

la caratteristica fondamentale di una retta è appunto il fato di avere

un coefficiente angolare costante.

le curve ad sempio , come le parabole , le eslissi o il cerchiono

, non anno un coefficiente angolare costante ,

ma un coefficiente angolare che varia da punto a punto.

Ora facciamoci qualche domanda..

per un punto quante rette passano?

bhe infinite … questo viene intuitivo infinite rette.

L’insieme delle rette passanti per un punti viene detto fascio di rette propio,

mentre l’espressione facio di rette impropio viene usato per indicare un fascio di rette parallele.

img fascio di rette propio

 

di certo il fascio di rette propio ha infinite rette , ma non tutte le rette gli appartengono.

come faccio a determinare quali rette appartengono a fascio e quali no ?

o se preferite quali caratteristica deve avere una retta per passare

per un determinato punto ?

dato un punto \( P=(a,b) \) quali rette pasano per \( P \) ?

{fascio di rette propio , con punto nel centro degli assi cartesiani}

passano per p tutte le rette che soddisfano il seguente sistema

\( x=a \)

\( y=b \)

\( y=mx+b \)

o se preferite il fascio di rette può essere genericamente rappresentato come

\( y-b=m(x-a) \)

se invece oltre a sepere il il punto sappiamo anche un coefficiente

angolare allora la retta passante

è una ed una sola.in altre parola la retta passante per un punto con

coefficiente angolare dato è una sola;

come si calcola ?

poniamo sempre il punto noto \( P=(a,b) \) ed il coefficiente angolare

noto

\( m_{1} \)

come faccio a ricavarmi la retta passante ?

la forma canonica dela retta come sappiamo è \( y=mx+c \)

a questo punto sappiamo \( y,x,m \) manca solo \( c \)

in pratica dobbiamo fare un bel sistema

\( x=a \)

\( y=b \)

\( m=m_{1} \)

manca solo \( c \) che ci ricaviamo

\( c=y-mx \)

facciamo un esempio

dato il punto

\( P(5,4) \)

ed il coefficiente angolare

\( m=\frac{1}{2} \)

quale retta passa pe \( P \) con coefficiente angolare \( m \) ?

troviamoci \( c \) ,

\( c=4-\frac{1}{2}5 \)

\( c=\frac{8-5}{2} \)

\( c=\frac{3}{2} \)

quindi la retta cercata è :

\( y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \)

 

se invece vogliamo lolrci la retta passante per due punti ?

semplice basta calcolaresi il coefficiente angolare e poi imporre il paseggio per uno dei due punti.