la sommatoria

 

un modo utile per scrivere somma è quello di usare la lettera \( \sum \)

detta sigma

nel caso più generale abbiamo \( \sum\limits_{K=N}^{M}f(k) \)

\( k \) = si dice indice della sommatoria

\( f(k) \) = un espressione algebrica

in cui appaia l’indice della sommatoria

\( N \) = numero intero da cui parte la sommatoria

\( M \) = numero intero , dove finisce la sommatoria

.

esempio

\( \sum\limits_{k=3}^{5}k^{2}\ \) questa sommatoria equivale a \( 3^{2}+4^{2}+5^{2} \)

naturalmente una stessa sommatoria si può scrivere in più modi .

\( \sum\limits_{k=3}^{5}k^{2} \) = \( \sum\limits_{k=3}^{5}(k*k) \) = \( \sum\limits_{k=6}^{8}(k-3)^{2} \)

alcune regole per lavorare con le sommatorie

se c è una costante cioè c non dipende da k

a) \( c*\sum\limits_{K=N}^{M}f(k)=\sum\limits_{K=N}^{M}f(k)*c \)

b) \( \sum\limits_{K=N}^{M}(a_{k}+b_{k})=\sum\limits_{K=N}^{M}a_{k}+\sum\limits_{K=N}^{M}b_{k} \)

c) \( \sum\limits_{K=N}^{M}(a_{k}-b_{k})=\sum\limits_{K=N}^{M}a_{k}-\sum\limits_{K=N}^{M}b_{k} \)

per quando riguarda la formula a basta scrivere il tutto in forma espansa

 

\( c*f(k)_{N}+c*f(k)_{N+1}+c*f(k)_{N+2}…..c*f(k)_{M}= \)

\( c*[f(k)_{N}+f(k)_{N+1}+f(k)_{N+2}………f(k)_{M}] \)

 

per quando riguarda la formula b , e specularmente anche la c……………..

 

\( (a_{N}+b_{N})+(a_{N+1}+b_{N+1})+(a_{N+2}+b_{N+2})……………(a_{M}+b_{M})= \)

\( (a_{N}+a_{N+1}+a_{N+2}…………..a_{M})+(b_{N}+b_{N+1}+b_{N+2}…………..b_{M}) \)

Altra cosa da sapere sulle sommatorie e che molte volte (poche a dire

la verità) possono essere calcolate mediante formule e

non seguendo l’intero procedimento.

ecco le principali regole.

a) \( \sum\limits_{i=1}^{n}1=n \)

b) \( \sum\limits_{i=1}^{n}c=c*n \)

c) \( \sum\limits_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2} \)

d) \( \sum\limits_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

e) \( \sum\limits_{i=1}^{n}i^{3}=[\frac{n(n+1)}{2}]^{2} \)

.

le prime due sono praticamente intuitive

le altre le dimostrerò più avanti.