proprietà degli integrali definiti

 

proprietà degli integrali definiti .
Ora soffermiamoci su alcune proprietà degli integrali definiti . prima di tutto come già visto per la soma di Riemann,
valgono queste 2 proprietà.
1) \( \int\limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int\limits _{b}^{a}f(x)dx \)


2) \( \int\limits _{a}^{a}f(x)dx=0 \)
poi
3) \( \int\limits _{a}^{b}c\; dx=c(b-a) \) dove \( c \) è una costante


4) \( \int\limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int\limits _{a}^{b}f(x)dx+\int\limits _{b}^{a}g(x)dx \)


5) \( \int\limits _{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx=\int\limits _{a}^{b}f(x)dx-\int\limits _{b}^{a}g(x)dx \)


6) \( \int\limits _{a}^{b}c*f(x)\; dx=c*\int\limits _{a}^{b}f(x)\; dx \)

7) \( \int\limits _{a}^{b}f(x)dx+\int\limits _{b}^{c}f(x)dx=\int\limits _{a}^{c}f(x)dx \)
.
Dimostrazioni.
1;2)Le prime due le ho già trattate quando ho parlato della somma
di Riemann .
3) La terza è intuitiva , basti pensare che una costante \( c \) graficamente
non è altro che una linea parallela all’asse delle \( y \)


Le 4,5,6 sono dirette conseguenze delle proprietà delle sommatorie.
4,5)
\( \int\limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}[f(x_{i})+g(x_{i})*\triangle x] \)

\( =\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\left[\sum\limits _{i=1}^{n}f(x_{i})*\triangle x+\sum\limits _{i=1}^{n}g(x_{i})*\triangle x\right] \)

\( =\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}f(x_{i})*\triangle x+\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}g(x_{i})*\triangle x \)

\( =\int\limits _{a}^{b}f(x)dx+\int\limits _{a}^{b}g(x)dx \)
per la proprietà 5 basta sostituire il – al +
6) \( \int\limits _{a}^{b}c*f(x)\; dx=\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}c*f(x_{i})*\triangle x \)

\( =c*\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}f(x_{i})*\triangle x=c*\int\limits _{a}^{b}f(x)\; dx \)

7)Questa proprietà è molto difficile se la si vuole dimostrare matematicamente .

invece graficamente , risulta evidente che :

\( \int\limits _{a}^{b}f(x)dx+\int\limits _{b}^{c}f(x)dx=\int\limits _{a}^{c}f(x)dx \)