regola del prodotto

 

la regola del prodotto

prese due funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) come possiamo derivare la funzione

\( t(x)=f(x)*g(x) \)

partendo dalle derivare delle prime due ?

partiamo dalla definizione.

\( t'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{t(x+h)-t(x)}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x)}{h} \)

ora aggiungiamo e sottraiamo \( f(x+h)*g(x) \)

\( t'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{[f(x+h)*g(x+h)]-f(x+h)*g(x)+f(x+h)*g(x)-[f(x)*g(x)]}{h} \)

ora raggruppiamo \( f(x+h) \) ed \( g(x) \)

\( t'(x)=\lim\limits_{x\rightarrow0}f(x+h)*\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)*\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

premesso che :

\( f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

\( g'(x)=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \)

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}f(x+h)=f(x) \)

allora

\( t'(x)=f(x)*g'(x)+g(x)*f^{‘}(x) \)