regola del quoziente

 

regola del quoziente .

consideriamo \( t(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \) allora \( t'(x)=? \)

applicando la definizione di derivata.

\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{t(x+h)-t(x)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h} \)

\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}[\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}]*\frac{1}{h} \)

riduciamo al minimo comune multiplo

\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)*g(x)-f(x)*g(x+h)}{g(x+h)*g(x)}*\frac{1}{h} \)

ora aggiungiamo e togliamo \( f(x)*g(x) \)

\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)*g(x)-[f(x)*g(x)]+[f(x)*g(x)]-f(x)*g(x+h)}{g(x+h)*g(x)}*\frac{1}{h} \)

ragruppando \( f(x) \) e \( g(x) \) e sistemando i numeratori si ottiene

\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{g(x)*\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x)*\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x+h)*g(x)} \) :

posto che :

\( g'(x)=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \)

\( f'(x)=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

\( \lim\limits _{h\rightarrow0}g(x+h)=g(x) \)

allora possiamo scrivere

\( t'(x)=\frac{g(x)*f^{‘}(x)-f(x)*g'(x)}{g(x)^{2}} \)