regola per le funzioni composte

 

 

 

derivate di funzioni composte , detta anche regola della catena, date

le funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \)

la funzione \( t(x)=f(g(x)) \) allora a cosa è uguale la sua derivata

\( t'(x)=? \)

applichiamo la definizione

.

\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \)

adesso moltiplichiamo e dividiamo il tutto per \( g(x+h)-g(x) \)

\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}*\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} \)

facciamo qualche scambio.

\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}*\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \)

ora sapendo che \( \lim\limits _{h\rightarrow0}g(x+h)=g(x) \)

allora \( \lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}=f^{‘}(g(x)) \)

mentre

\( \lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) \)

quindi \( t'(x)=f'(g(x))*g'(x) \)