derivate di funzioni composte , detta anche regola della catena, date
le funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \)
la funzione \( t(x)=f(g(x)) \) allora a cosa è uguale la sua derivata
\( t'(x)=? \)
applichiamo la definizione
.
\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \)
adesso moltiplichiamo e dividiamo il tutto per \( g(x+h)-g(x) \)
\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}*\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} \)
facciamo qualche scambio.
\( t'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}*\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \)
ora sapendo che \( \lim\limits _{h\rightarrow0}g(x+h)=g(x) \)
allora \( \lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}=f^{‘}(g(x)) \)
mentre
\( \lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) \)
quindi \( t'(x)=f'(g(x))*g'(x) \)