teorema della media

 

teorema della media.

.
Definizione : sia \( f(x) \) una funzione continua in \( [a,b] \) allora esiste
un punto \( c \) tale che :
\( \int\limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)*(b-a) \)
in pratica ci dice che esiste un valore medio di \( f(x) \) dellintervallo
\( [a,b] \)
quindi esistendo un valore medio basta moltiplicare la base per ,
questo valore medio
ed ecco che ci troviamo l’area della curva sottesa all’ intervallo


.
Dimostrazione
abbiamo visto che si può approssimare L’area sottesa ad una curva
in un determinaro intervallo
le approsimazioni meno accurate che possiamo fare è quella di prendere
il punto massimo e quello minimo dell’intervallo
approsimazione per eccesso sarà la base per il valore massimo.
approsimazione per difetto sarà la base per il valore minimo.
\( A_{M}=f(x)_{MAX}*(b-a)= \) approsimazione per eccesso


\( A_{m}=f(x)_{min}*(b-a)= \) approsimazione per difetto


.
\( A_{m}\leq\int\limits _{a}^{b}f(x)dx\:\leq A_{M} \)
sviluppando
\( \left[m*(b-a)\right]\leq\int\limits _{a}^{b}f(x)dx\:\leq\left[M*(b-a)\right] \)
dividendo il tutto per \( (b-a) \) si ha
\( m\leq\frac{1}{(b-a)}*\int\limits _{a}^{b}f(x)dx\:\leq M \)
in base al teorema dell’ esistenza dei valori intermedi
esiste un valore \( f(c) \) compreso fra \( m \) e \( M \) tale che :
\( f(c)=\frac{1}{(b-a)}*\int\limits _{a}^{b}f(x)dx \) che è esattamente
L’ipotesi .
\( f(c)*(b-a)=\int\limits _{a}^{b}f(x)dx \)


questo teorema non ci dice come calcolare il punto medio ma ci dice
semplicemente che esiste.
Come trovare il punto medio sarà un capitolo molto interessante che
affronteremo più avanti.