teorema di cauchy

 

teorema di cauchy , può essere considerato una generalizzazione del

teorema di lagrange .

questo teorema ci dice che : date 2 funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) ambedue

continue in un intervallo \( [a,b] \) e derivabili in \( (a,b) \)

posto \( g'(x)\neq0 \) per ogni punto dell’ intervallo .

il teorema afferma che esiste almeno un punto \( c \) all’ interno dell’intervallo

\( [a,b] \) in cui \( \frac{f^{‘}(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \)

.

notiamo subito che se \( g'(x)\neq0 \) per ogni punto dell’intervallo

allora la funzione \( g(x) \) non ha ne massimi a ne minimi , vedi teorema

di lagrange

quindi \( g(x) \) deve per forza essere una retta non parallela alasse

delle x (se fosse una retta parallela a x allora \( g(x)=0 \) per ogni

punto dell’intervallo,

quindi deduciamo anche ve \( g(a)\neq g(b) \) altrimenti appunto \( g(x) \) sarebbe

parallela a \( x \)

.

quindi se definiamo una funzione \( h(x) \) come \( h(x)=[g(b)-g(a)]*f(x)-[f(b)-f(a)]*g(x) \)

notiamo che la funzione \( h \) verifica tutte le condizioni del teorema

,

infatti è continua in \( [a,b] \) e derivabile in \( (a,b) \)

.

ora calcoliamoci genericamente \( h(a) \) e \( h(b) \)

\( h(a)=[g(b)-g(a)]*f(a)-[f(b)-f(a)]*g(a)= \)

\( =g(b)*f(a)-[g(a)*f(a)]-f(b)*g(a)+[f(a)*g(a)] \)

ora semplifichiamo \( f(a)*g(a) \)

allora si ha \( h(a)=g(b)*f(a)-f(b)*g(a) \)

\( h(b)=[g(b)-g(a)]*f(b)-[f(b)-f(a)]*g(b)= \)

\( =[g(b)*f(b)]-g(a)*f(b)-[f(b)*g(b)]+f(a)*g(b) \) semplifichiamo \( f(b)*g(b) \)

allora \( h(b)=f(a)*g(b)-g(a)*f(b) \) .

quindi si ha che \( h(a)=h(b) \)

a questo punto sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di Rolle

quindi esisterà un punto \( c \) tale che la derivata di \( h \) si annulla

\( h'(c)=0 \)

quindi considerata L’Equazione \( h(x)=[g(b)-g(a)]*f(x)-[f(b)-f(a)]*g(x) \) e

considerato che esiste un punto \( c \) tale che \( h'(c)=0 \)

dobbiamo derivare l’espressione \( D\{[g(b)-g(a)]*f(x)-[f(b)-f(a)]*g(x)\}=0 \)

visto che \( [g(b)-g(a)] \) e \( [f(b)-f(a)] \) sono delle costanti per derivare

la funzione basta applicare la regola della differenza.

quindi si avrà che \( h'(x)=[g(b)-g(a)]*f^{‘}(x)-[f(b)-f(a)]*g'(x) \)

sappiamo per Rolle che esiste almeno un punto \( c \) tale che \( h'(c)=0 \)

quindi \( [g(b)-g(a)]*f^{‘}(c)-[f(b)-f(a)]*g'(c)=0 \) il che equivale

a scrivere.

\( \frac{f^{‘}(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \) ricordiamo che

\( g(x)\neq0 \) \( \forall x\epsilon(a,b) \) altrimenti potrebbe darsi che

la funzione nell’equazione subisca una divisione per 0