teorema di lagrange

 

teorema di lagrange , detto anche teorema del valor medio

è una generalizzazione del teorema di rolle .

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il teorema dice che :presa una generica funzione \( f(x) \) continua

in un intervallo chiuso \( [a,b] \) e definita in \( (a,b) \)

con gli estremi \( f(a) \) e \( f(b) \) non necessariamente coincidenti.

allora esiste almeno un punto \( c \) per il quale esiste una retta tangente

avente coefficiente angolare

uguale alla retta passante per il punto \( A(a,f(a)) \) e per il punto

\( B(b,f(b)) \) .

detto matematicamente il coefficiente angolare sarà uguale a \( m_{ab}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b} \)

vedi figura.

dimostrazione .

questo teorema in realtà altro non è che una generalizzazione di quello

di Rolle .

in effetti non faremo altro che definire una funzione \( h(x) \) che sottratta

a \( f(x) \)

fa si che \( g(a)= \) \( g(b) \) in pratica raddrizziamo la funzione

.

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\( h(x) \) sarà la retta passante per \( A,B \) (il perchè di questo lo devo ancora approfondire) \( h(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \)

\( g(x)=f(x)-h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \)

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PS. perché la funzione ha corrisponde con la retta passane per i due

estremi è da approfondire.

adesso che abbiamo raddrizzato il grafico \( g(a)=g(b) \) , questo lo

si potrebbe verificare facilmente praticamente.

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essendo \( g(a)=g(b) \) possiamo applicare il teorema di Rolle e quindi

esisterà un punto \( c \) \( \epsilon(a,b) \) tale che \( g'(c)=0 \)

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ora essendo \( g'(x)=f^{‘}(x)+h'(x)=f^{‘}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)

ora sappiamo che \( g'(c)=0 \) scriviamo

\( g'(c)=f^{‘}(c)+h'(c)=f^{‘}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \)

quindi sapendo \( f^{‘}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \)

si ottiene la tesi , cioè

\( f^{‘}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)