Teorema di valutazione

Teorema di valutazione.
Definizione.
Se \( f(x) \) é una funzione continua in \( [a,b] \)
posto \( F(x) \) una qualsiasi primitiva di \( f(x) \) .cioè \( F'(x)=f(x) \) .
allora \( \int\limits _{a}^{b}f(x)\; dx=F(b)-F(a)=f(c)*(b-a) \)

graficamente

La parte \( f(c)*(b-a) \) viene omessa da molti.
per dimostrare questo teorema , teniamo ben presente il teorema di
Lagrance
.
esiste almeno un punto \( c \) appartenente all’intervallo \( [a,b] \) tale che \( f^{‘}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)

riscriviamo l’equazione nella forma:
\( f^{‘}(c)*(b-a)=f(b)-f(a) \)
ora consideriamo una qualsiasi primitiva \( F(x) \) di \( f(x) \) quindi
\( F'(x)=f(x) \) .
scriviamo l’equazione di sopra sostituendo \( F(x) \) a \( f(x) \) .
\( F'(c)*(b-a)=F(b)-F(a) \)
considerato che \( F'(x)=f(x) \) .
possiamo scrivere
\( f(c)*(b-a)=F(b)-F(a) \)
prestiamo attenzione al prodotto \( f(c)*(b-a) \)
che è un approsimazione dell’area compresa fra l’approsimazione per
eccesso e quela per difetto.
\( c \) appartenendo all’intervallo \( [a,b] \) .
proviamo a formulare la somma di Riemann prendendo questo punto come
valore di riferimento.
\( \sum\limits _{i=1}^{n}f(x_{c})*\triangle x \) dove naturalmente \( \triangle x=\frac{b-a}{n} \)
cioè per ogni sotto intervallo prendiamo un punto \( c \) interno al
sotto intervallo
tale che soddisfi l’èquazione di prima.


dall’equazione sopra scritta si deduce anche .
\( \sum\limits _{i=1}^{n}f(x_{c})*\triangle x=\sum\limits _{i=1}^{n}F(x_{i})-F(x_{i+1})=F(b)-F(a) \)
questa formula è molto importante per che ci dice che qualsiasi \( n \) scegliamo
per la sommatoria , anche senza farlo tendere all’infinito,
il risultato sarà sempre uguale a \( F(b)-F(a) \) , quindi sarà sempre
lo stesso anche facendo tendere \( n \) all’infinito
quindi naturalmente
\( \lim\limits _{n\rightarrow\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}f(x_{c})*\triangle x=\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}F(x_{i})-F(x_{i+1})=F(b)-F(a) \)

\( =f(c)*(b-a)=\int\limits _{a}^{b}f(x)\; dx \)
.
A questo punti facciamo un paio di considerazioni ,
questo teorema ci apre le porte all teorema fondamentale del calcolo
integrale che legerà in modo rigoroso integrazione e derivazione,
in più questo teorema ci da qualche informazione in più sul punto
medio \( f(c) \) punto tale che \( f(c)*(b-a)=\int\limits _{a}^{b}f(x)\; dx \)
mentre il teorema della media ci diceva che questo punto esisteva
e basta adesso abbiamo anche qualche spunto per calcolarlo
senza sapere prima l’area , questo lo vedremo la prossima volta ,
il teorema di valutazione ha anche una sua simbologia a parte
possiamo scrivere cioè \( \left.f(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)=f(c)*(b-a)=\int\limits _{a}^{b}f(x)\; dx \)
notiamo che la simbologi a \( \left.f(x)\right]_{a}^{b} \) essendo praticamente
equivalente al simbolo di integrale è poco usata .