Teorema fondamentale del calcolo ed integrali indefiniti

 

Integrali indefiniti , e teorema fondamentale del calcolo.
per prima cosa rispondiamo alla domanda che cosa sono gli integrali indefiniti.
gli integrali indefiniti sono una generalizzazione di quelli definiti
, cioè prendendo un punto fisso \( q \) cercheremo una funzione \( F(x) \) tale che: \( F(x)=\int\limits _{q}^{x}f(x)\; dx \)

il punto \( q \) può essere preso a piacimento non ha importanza.
tanto che come vedremo per gli integrali indefiniti si usa la notazione \( F(x)=\int\, f(x)\; dx \)
.
come vedete il risultato di un integrale indefinito è una funzione
e non un numero come per gli integrali definiti, lo vedremo meglio più avanti.
Il Teorema fondamentale del calcolo invece ha questo nome perché lega il calcolo integrale con quello differenziale.
Il calcolo integrale si è sviluppato partendo dal problema delle aree.
Il calcolo differenziale invece si è sviluppato partendo invece dal problema della tangente.

non ostante essi siano così diversi nelle definizioni questo teorema
ci dimostrerà che essi sono profondamente legati . infatti:
.
Definizione (teorema fondamentale del calcolo )
\( F(x)=\int\, f(x)\; dx \) dove \( F(x) \) è una primitiva di \( f(x) \) cioè
: \( F'(x)=f(x) \) .
.
notiamo subito che se riusciamo a ricavare una funzione tale che \( F(x)=\int\limits _{q}^{x}f(x)\; dx \) allora
possiamo ricavarci l’area di qualsiasi intervallo , ammesso sempre che \( f(x) \) sia continua in quell’intervallo.
supponiamo che volessimo ricavare L’area del’ intervallo \( \int\limits _{a}^{b}f(x)dx \)

conoscendo la suddetta funzione potremmo porre
\( \int\limits _{a}^{b}f(x)dx=\int\limits _{q}^{b}f(x)dx-\int\limits _{q}^{a}f(x)dx=F(b)-F(a) \)

 

=

 

\( F(b)-F(a) \) non vi ricorda il teorema di valutazione ?
.
ora per comprendere meglio il problema definiamo un altra grandezza
chiamiamolo rapporto dell’area, definito come \( w=\frac{A_{(b-a)}}{b-a} \) cioè
come l’area sottesa ad una curva in un intervallo diviso il suo intervallo stesso
in modo analogo ma non uguale abbiamo definito il rapporto incrementale
come \( m=\frac{\triangle y}{\triangle x} \) quindi preso un intervallo
\( [a,b] \) possiamo vedere il
rapporto incrementale della retta passante per i due estremi.

Per quando riguarda il rapporto incrementale abbiamo visto che facendo
tendere a zero l’intervallo e generalizzando otteniamo
la funzione derivata.
vedremo che succede se facciamo tendere a zero L’intervallo del rapporto
dell’area.
.
Arrivati a questo punto abbiamo due possibilità per dimostrare il
teorema fondamentale del calcolo .
una usando il teorema di valutazione, e l’altra non usandolo .

li vedremo entrambi
.
1) Usando il teorema di valutazione :

sappiamo che , \( \int\limits _{a}^{b}f(x)\; dx=F(b)-F(a) \)

dove sappiamo che \( F(x) \) è una primitiva di \( f(x) \) cioè \( F'(x)=f(x) \) .
volendo generalizzare potremmo scrivere sapendo che fra \( a \) e \( b \) c’è
una certa distanza \( h \) e che \( b=a+h \) ponendo \( a=x \) per generalizzare
appunto
possiamo scrivere \( \int\limits _{x}^{x+h}f(x)\; dx=F(x+h)-F(x) \) .
volendo calcolare il rapporto dell’area , come definito sopra possiamo
scrivere \( w=\frac{A}{h}=\frac{\int\limits _{x}^{x+h}f(x)\; dx}{h}=\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \)
Quindi facciamo tendere a zero \( h \) in modo da calcolarci la variazione
istantanea (in modo simile a come si fa con le derivate)
ed allora scriviamo \( w_{x}=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \) ma
questo è precisamente il processo di derivazione , quindi il risultato
non può
che essere \( f(x) \) dato che \( F(x) \) è una sua primitiva.
.
( \( w_{x}=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x) \) )
.
quindi la variazione dell’area e la variazione del rapporto incrementale
sono processi inversi , uno annulla l’altro.
in pratica quando detto dimostra anche la variazione dell’aerea di
una funzione \( f(x) \) è data dalla funzione \( f(x) \) stessa
.
2) dimostrazione senza usare il teorema di valutazione .

generalizziamo ponendo una generica funzione \( G(x) \) come \( G(x)=\int\limits _{q}^{x}f(x)\; dx \)
ricordiamo che non usando il teorema di valutazione non possiamo dire
che \( G(x) \) sia una primitiva di \( f(x) \)
ricordiamo anche che una volta posta la funzione \( G(x) \) è possibile
calcolare l’area di qualsiasi intervallo
come differenza di aree \( \int\limits _{a}^{b}f(x)dx=\int\limits _{q}^{b}f(x)dx-\int\limits _{q}^{a}f(x)dx=G(b)-G(a) \)
.
ora generalizzando con la forma \( x+h \) possiamo scrivere : \( \int\limits _{x}^{x+h}f(x)\; dx=G(x+h)-G(x) \)
.
ora per il teorema dei valori estremi , in qualsiasi intervallo esistono
dei valori massi e dei valori minimi tali che :
\( f(m)*h\leq\int\limits _{x}^{x+h}f(x)\; dx\leq f(M)*h \) quindi dividendi
tutto per \( h \)
\( f(m)\leq\frac{1}{h}*\int\limits _{x}^{x+h}f(x)\; dx\leq f(M) \) quindi
\( f(m)\leq\frac{G(x+h)-G(x)}{h}\leq f(M) \) .
ora facendo tendere \( h \) a zero sappiamo che \( f(m)=f(M)=f(x) \)
quindi \( f(m)=f(M)=f(x)=\lim\limits _{h\rightarrow0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}=G'(x) \)
allora se \( G'(x)=f(x) \) allora \( G(x) \) è una primitiva di \( f(x) \) .
.

Esempio
un esempio pratico , poniamo \( f(x)=x^{2} \)
la sua derivata che chiameremo \( t(x) \) è uguale a \( t(x)=2x \) .
mentre domandiamoci come calcolare l’area sottesa fra zero ed un generico punto \( x \)
quindi \( A=F(x)=\int\limits _{0}^{x}f(x)\; dx=\lim\limits _{n\rightarrow\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}\triangle_{x}*(\triangle_{x}*i)^{2}= \)

\( =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\triangle_{x})^{3}*\sum\limits _{i=1}^{n}i^{2} \) dove
naturalmente \( \triangle_{x}=\frac{x}{n} \)
\( =\lim\limits _{n\rightarrow\infty}(\frac{x}{n})^{3}*\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\lim\limits _{n\rightarrow\infty}x^{3}*\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}*6}= \)

\( \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x^{3}*\frac{(2n^{2}+3n+1)}{n^{2}*6}=\frac{1}{3}*x^{3} \)
.
quindi \( F(x)=\frac{1}{3}*x^{3} \) . basandoci sul teorema fondamentale
del calcolo avrei potuto calcolarmi direttamente
la primitiva , ma questo procedimento mostra in maniera ancora più
forte come processi così diversi siano
legati così strettamente infatti è facile vedere che : \( F'(x)=f(x) \)
vedi le immagini di questi tre grafici .

il primo mostra semplicemente la funzione \( f(x)=x^{2} \)

questo invece mosta la funzione \( t(x)=2x \) in prativa poniamo Y uguale al coefficiente angole della

precedente funzione

invece questo grafico ci mostra la funzione \( F(x)=\frac{1}{3}*x^{3} \)

in pratica poniamo y= A

dove A = area compresa fra L’origgine ed i vari punti x della funzione \( f(x)=x^{2} \)