un pò di Geometria analitica

i punti del piano posso essere messi in corrispodenza biunivoca con coppie di valori reali .
il piano cartesiano , è formato da due rette ortogonali , come in figura.


ogni punto del piano è univocamente individuato da una coppia di valori reali.
Es P(4,5) vedi figura

i punti del piano posso essere messi in corrispodenza biunivoca con coppie di valori reali .
il piano cartesiano , è formato da due rette ortogonali , come in figura.


ogni punto del piano è univocamente individuato da una coppia di valori reali.
Es P(4,5) vedi figura

questo sistema di coordinate viene chiamato
Sistema di coordinate cartesiane ortogonali
in onore del matematico francese Cartesio (René Descartes ) 1596 – 1650
un altro francese suo contemporaneo Pierre Fermat
introdusse i principi della Geometria analitica.

Fermat indicava il piano cartesiano con

\( R^{2} \)

il piano cartesiano , viene diviso dalle rette x e y

in 4 quadranti

 

 

 

ora partendo x da cio si può dividere il piano in varie regioni

per esempio

(a){(x,y) | x > 0 }

(b) { (x,y) | y > 3 }

A

e così via

ora possiamo descrivere come calcolare la distanza fra 2 punti.

poniamo che volessimo calcolare la distanza fra il punto
\( P_{1}(x_{1,}y_{1}) \) ed il punto \( P{}_{2}(x_{2},y_{2}) \)
se \( x{}_{1} \) = \( x{}_{2} \)
allora la cosa si riduce a D = | y \( _{1} \) – \( y_{2} \) |
specularmente succede la stesa cosa se \( y{}_{1} \) = \( y{}_{2} \)
allora D = | \( x{}_{1} \) – \( x{}_{2} \) | ,
L’uso del valore assoluto è comodo visto che la distanza in ogni modo non può essere negativa.
e fra 2 punti generici ?
semplice basta applicare il teorema di Pitagora,

quindi fra i 2 punti \( P_{1}(x_{1,}y_{1}) \) , \( P{}_{2}(x_{2},y_{2}) \) la distanza
D sarà, D= \( \sqrt{|x{}_{1}-x_{2}|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2}} \)
i valori assoluti essendo elevati al quadrato li possiamo tranquillamente levare quindi…..
D= \( \sqrt{(x{}_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} \)

facciamo un esempio

\( P{}_{1}= \) (4 , 6) ; \( P{}_{2}= \) (9 , 10)

 

allora la distanza D fra i due punti sarà :

 

D = \( \sqrt{(4-9)^{2}+(6-10)^{2}} \) = \( \sqrt{-5^{2}+-4^{2}} \) = \( \sqrt{25+16} \) = \( \sqrt{41} \)